矽光子波導之原理（入門篇）
物理隱喻
水光潋滟晴方好，山色空濛雨亦奇。-蘇軾
前言
這年代大家想必從新聞[1-5]對矽光子倍感興趣，可這底下的原理到底是甚麼呢？像對應以電子為主的電子電路，光子電路則用更高頻度的電磁波來傳輸信息。自然，遊戲規則則為大自然的定律-麥克斯韋方程組。 當簡化到“球形奶牛”時的問題有高度的相稱性，讀者尚可用粉筆在黑板上解題，可一般的應用則用計算機裡的數碼雙胞胎去模擬麥克斯韋方程組或甚為簡化的方程組，例如應用於光纖或波導的亥姆霍兹方程。年少無知的我的直覺則來自於量子力學裡的有限方井。當周圍的折射率要比中間的相對低（換個角度想，周圍的位能則比中間的要高），一束光波以及它所承載的信息能很有效的在（還是宏觀的）光纖或（微觀的）波導傳輸。由於各種原因，現代通訊（電信，數據中心）則靠用玻璃1做的光纖以及矽2做的波導（則稱“矽光子”）。至於仔細的光子電路的設計，這就需要漫長的自習各相關的領域-電磁，優化，統計，仿真，等等。本文章皆以海明威般的文字書寫。（作者為美國華人黃傑克。若是讀者中有大中華地區的矽光子愛好者或業內人士，很歡迎彼此交流一下。）
倍受同窗啟發
多年前，我曾在一位同窗3兩席話下倍受啟發，而對集成光學以及自由空間光學產生濃厚的興趣。當時我還是一名普通，不解風情的（美國）文青，不分晝夜般地想各種波動現象。所以這位同窗則分別在芝城4中途道以及波城查理河畔想分散我注意力，而指出周圍風景如畫般的環境。可我卻不領情，悄悄地開始設想應用於光學5的“球形奶牛”般的模型。自然這不是空穴來風-有兩位母校6校友們讓我參觀過他們任職的公司總部-分別是本國一家高頻交易公司7（往日總部在芝加哥）以及海外一家的固體激光雷達公司（Innoviz）。對於這些公司來說，他們不能很抽象化般地只以靠計算機或統計學家們去設計高頻交易算法以及光子雷達芯片 - 他們的主要競爭優勢源於他們職員從物理8，工程9，以及經濟10角度對系統可行性有深刻的了解。用白話講，他們會用不同光譜段的光波在空氣或光纖傳輸重要的訊息-相關的電磁譜段為可見到紅外，微波，以及微米波數段11。學過估算法12的讀者可以從原理估算前者的特徵時間尺度13。當我初次好好地看母校14的“中途道”時15，剛會現代漢語16與文言文17的我突然想起不少東西 - 黃浦灘18，汴京19，臨安20，光纖通信21，量子力學，等等。中途道的小溝22特別讓我想起光纖橫斷面折射率分佈n(r)以及量子有限方井V(r)。年少無知的我靈機一動，發覺薛定谔方程與亥姆霍兹方程有些相似之處23。計算完後，我去母校圖書館書堆裡翻查舊文章24與書籍25，確實直覺沒錯-光纖原理是這樣子的, 即便多年後也受益匪淺用量子學裡的技巧去了解集成光學。若是有讀者對自由空間光學感興趣，我會考慮講一下當年在波城查理河畔設想到的雷達原理。
若是讀者身處以下的（美國都市裡的）世外桃源會有何感想？是否會與年少無知的我一樣呢？
（美國家鄉母校）中途道 - 曾在一位同窗啟發下在此想通了波導原理。鍾琴樓（制高點則能俯瞰校園）則在左側。
（美國波城）查理斯河畔26 - 曾在一位同窗啟發下在此想通了雷達原理。對面則是劍城麻省理工大約位置。
波導原理
當時，我非常熟悉的是在（美國中西部）鄉下玉米地裡的高中從老師身上學的量子物理。同時，我以前常聽母校鍾琴27以及哼老師寫的音樂劇28（“物理世界”）歌曲- 特別是這首“物理自有旋律”以下兩句：
何以解憂？當我看見
物理自有旋律。每一列方程自有基調。
所以无论是什么领域，对于當時年少無知的我而言，锤子也只能看到钉子 - 很多理，工，金，商的題都可以以當作線性系統以及特徵題來解29：
我剛才提及的兩列方程則為：
（1）薛定谔方程 - 有限方井（量子力學）- 一維題
（2）亥姆霍兹方程 - 阶梯折射率纤维（經典光學以及電磁學）- 一維題
其實我不講各變數的定義是故意為之，以便讀者對比發現兩者的相似度。前者有簡單的課本書標準答案（特徵值與向量）30，讀者用（數學裡的）變數替換則可解後者。 至於具體的答案，就像數學課本書31上說的讓讀者自解吧！再者，我目前講的是假設中途道（光纖/波導）縱向方向是一樣的（才能當成兩維題解，再除掉角度theta相依性就变成一維題來解）。理想很豐滿，現實很骨感-若是假設不成立呢? 例如奈米尺度大的瑕疵？或者它需要像黃浦江（或者年少的我喜歡的查理斯河）拐彎？
矽光子懶人包
若是年少的讀者有雅致去學矽光子，我強推參考材料以及以下資源：
(1) Awesome Photonics (Joaquin Matres, gdsfactory) - 實用
(2) Awesome PDA (Zhengqi Gao, MIT) - 基礎
(3) CMOS Photonics, Silicon Photonics Foundries (Joaquin Matres, gdsfactory) - 簡潔
矽光子播客
(1) Psiquantum Sourcery Interview (英語) - 量子計算機初創公司與矽光子代工廠商合作（重點是添加新材料鈦酸鋇BTO）
(作為芝加哥人，我自然覺得家鄉是好地方-他們眼光的確不錯，新工廠園區在母校芝大附近。文韜兄,像Pete講的，我還在等你兌現承諾去舔晶圓？這視頻在X與Tiktok上面肯定能火。）
(2) Michael Hochberg Global Village Interview (英語) - 矽光子初創歷史(Luxtera)
(Michael Hochberg 與Lukas Chrotowski 寫的課本書基本上是矽光子標準課本書。)
(3) Mark Wade EE Times Interview - 矽光子初創歷史（Ayar Labs）
(Mark Wade 的Ayar Labs 是矽谷一家矽光子初創公司。）
(4) 陳昇祐訪問 - 台灣矽光子芯片設計軟件
(5) 先發電光訪問 - 台灣MicroLED光源初創公司
參考資料
[1] IBM Research.〈以共封裝光學技術為生成式 AI 計算提速〉，取自：https://research.ibm.com/blog/co-packaged-optics-to-supercharge-generative-ai-computing
[2] 數位時代。〈矽光子是什麼？〉，取自：https://www.bnext.com.tw/article/77079/what-is-silicon-photonics
[3] Neue Zürcher Zeitung.〈Photonik：造訪瑞士光子學先驅〉，取自：https://www.nzz.ch/wirtschaft/photonik-augenschein-bei-den-schweizer-pionieren-ld.1419456
[4] SemiAnalysis.〈Ayar Labs 與共封裝光學革命〉，取自：https://semianalysis.com/2022/04/30/ayar-labs-co-packaged-optics-revolution/
[5] 遠見雜誌。文章，取自：https://www.gvm.com.tw/article/116571
[6] Hamming, Richard R.《做科學與工程的藝術：學會學習》（The Art of Doing Science and Engineering: Learning to Learn）。CRC Press，1997 年。
[7] Kao, K. Charles & George A. Hockham.〈Dielectric-fibre surface waveguides for optical frequencies〉，《Proceedings of the Institution of Electrical Engineers》，第 113 卷，第 7 期，1966 年。
[8] Gershenfeld, Neil。《資訊科技物理學》（The Physics of Information Technology）。Cambridge University Press，2000 年。
[9] 誠品線上書店。書籍頁面，取自：https://www.eslite.com/product/10012030542682732135007?srsltid=AfmBOoqgSL-V41wyaCj1RAYdqQW9VgGlfTnzx0LRg9ShN3Iz3Ao_RjJx
[10] MacKenzie, Donald。《光速交易：超高速演算法如何改變金融市場》（Trading at the Speed of Light: How Ultrafast Algorithms Are Transforming Financial Markets）。Princeton University Press，2021 年。
[11] Pozar, David M.《微波工程：理論與技術》（Microwave Engineering: Theory and Techniques）。John Wiley & Sons，2021 年。
[12] Manolatou, Christina & Hermann A. Haus。《高密度光整合之被動元件》（Passive Components for Dense Optical Integration）。Springer Science & Business Media，2002 年。
[13] Shankar, Ramamurti。《量子力學原理》（Principles of Quantum Mechanics）。Springer Science & Business Media，2012 年。
[14] Mahajan, Sanjoy。《街頭格鬥數學：受過教育的猜測與機會主義問題解法的藝術》（Street-Fighting Mathematics: The Art of Educated Guessing and Opportunistic Problem Solving）。MIT Press，2010 年。
[15] The Harvard Crimson.〈Physics the Musical：物理 16 課程教學〉，取自：https://www.thecrimson.com/article/2002/4/11/physics-the-musical-physics-16-teaching/
準確來說，摻有少量掺杂物的高純度二氧化矽。
繁體字裡用的是“矽”(Si)。
聽君一席話，勝讀十年書。
即我家鄉。
當然，如果讀者是學過工科的，這可能很基礎 - 可年少無知的我不是，而理工科相對來說其實很冷門。而母校百多年以來（直到我入學之前那一年）都沒有工程系专业 - 可是在校友中又不乏優秀的工程師（例如漢明）。
即家鄉的芝大。
其執行長曾為母校校董之一。
以已知的自然定律下可行否？
以現有的技術可行否？
以目前估算的成本與效益可行否？
用一位麻省理工教授(Neil Gershenfeld)的話講，“比特與原子”(bits and atoms)。
年少時，我是從“街毆數學”學的，可是多年從來沒有機會在家鄉用於街毆…
一位史丹福物理系的高材生（亦是同鄉好友）為此寫過一篇簡潔的博客文章（https://lucaspauker.com/articles/timekeeping-in-financial-exchanges/）。
同窗蘇同學用無人機拍的母校校園 （https://www.skypixel.com/videos/the-phoenix-featuring-the-university-of-chicago-campus-87687696-1555-49b2-adbb-ef796a4246e9）。
遊客們總會稱讚母校校園的詩情畫意，可本科學生們又怎麼會有時間欣賞“樂趣的墳墓”呢？不過母校的確是多年耕耘的世外桃源。
身為美國人的我自然對東亞四小龍（特別是新加坡）的經濟奇蹟特別好奇，自發性地去讀他們名人的自傳（例如：張忠謀，高錕，李光耀，等等）。然而，讀張忠謀自傳上冊時深有共鳴-不同的是我學語言的順序是相反的-母語為英漢（粵）語，大一時我才會完全會現代漢語以及拗然大悟般地深思幼時以方言聽過學過的東西。
如果讀者仔細讀，宋詞裡也有不少形容波動現象。。。
上海灘（香港影視）。
清明上河圖，東京夢華錄。
當然，我自然覺得二十一世紀的家鄉芝城各方面都不遜色於蘇軾筆下的臨安， 比方說夏天碧波蕩漾的密歇根湖當然不遜色於西子。
我幼時應該是聽香港電台才聽過高錕幾十年前在英國標準電信實驗室發明的光纖。
有部分同窗們畢業於此。
其實這對於學工科的讀者應該都學過。
“Dielectric-fibre surface waveguides for optical frequencies”
“Art of Doing Science and Engineering”
張忠謀自傳上冊裡強推此處。
在不同語言裡，響亮的鍾琴聲則讓人聯想到不同的東西以及波動現象-漢語則為南屏晚鐘，德語則為魔笛，英語則為普林斯頓鐘樓下的物理家摩斯以及康奈爾的數學家科。
英語原文為“Les Phys” （以調侃”Les Miserables” 悲慘世界音樂劇以及他母校物理系）。
善意提醒：连续和离散後的微分方程答案未必是一樣，只是大多數誤差在可接受的範圍就可以了。
Griffiths/Sakurai/Shankar/Greiner.
數學分析課本書（Rudin）。